\subsection{勾股定理}\label{subsec:czjh1-5-3}

如图 \ref{fig:czjh1-5-14}， 我们把两个全等的正方形，用对角线分成四个全等的等腰直角三角形，然后把它们拼成一个正方形。
这个正方形的边，恰好是以前两个正方形的边为腰的等腰直角三角形的斜边。
因此，等腰直角三角形两腰上的正方形面积的和，等于斜边上正方形的面积。
我们可以证明，对于一般的直角三角形也有这种关系（图 \ref{fig:czjh1-5-15}）。
由于正方形的面积等于它的一边的平方，这种关系可写成下面定理：

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-14}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-14}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-15}
        \caption{}\label{fig:czjh1-5-15}
    \end{minipage}
\end{figure}

\begin{dingli}[定理]
    直角三角形两直角边 $a$、$b$ 的平方和，等于斜边 $c$ 的平方。
\end{dingli}

\begin{center}
    \framebox[10em]{\zhongdian{
        $\bm{a^2 + b^2 = c^2}$。
    }}
\end{center}

已知：在 $Rt \triangle ABC$ 中，$AB = c$， $BC = a$， $CA = b$（图 \ref{fig:czjh1-5-16} 甲）。

求证：$a^2 + b^2 = c^2$。

\zhengming 如图 \ref{fig:czjh1-5-16} 乙那样， 取四个与 $Rt \triangle ABC$ 全等的三角形，放在边长为 $a + b$ 的正方形内，
得到边长分别为 $a$、$b$ 的正方形 I、 II。

再将同样的四个直角三角形，如图 \ref{fig:czjh1-5-16} 丙那样放在边长为 $a + b$ 的正方形内，这时，
得到的四边形 III 也是正方形，并边长等于 $\triangle ABC$ 的斜边 $c$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{3cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-16-a}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-16-b}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch5-16-c}
        \caption*{丙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh1-5-16}
\end{figure}


比较乙、丙两个图形，正方形 I、II 的面积的和 $a^2 + b^2$ 与正方形 III 的面积 $c^2$
都是同一正方形面积与 4 倍 $\triangle ABC$ 面积的差，所以
\begin{gather*}
    a^2 + b^2 = c^2 \juhao
\end{gather*}

这个定理的逆命题也成立。

\begin{dingli}[逆定理]
    如果三角形的三边长 $a$、$b$、$c$ 有下面关系：
    \begin{gather*}
        a^2 + b^2 = c^2 \douhao
    \end{gather*}
    那么这个三角形是直角三角形。
\end{dingli}

已知： 在 $\triangle ABC$ 中，$AB = c$， $BC = a$， $CA = b$， 并且 $a^2 + b^2 = c^2$ （图 \ref{fig:czjh1-5-17}）。

求证： $\angle C = Rt \angle$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch5-17}
    \caption{}\label{fig:czjh1-5-17}
\end{figure}

\zhengming 作 $\triangle A'B'C'$， 使 $\angle C' = Rt \angle$， $B'C' = a$， $C'A' = b$， 那么

\qquad $A'B'^2 = a^2 + b^2$。

\begin{tblr}{colsep=0pt}
    $\because$ \quad  $a^2 + b^2 = c^2$， & $\therefore$ \quad $A'B'^2 = c^2$。 \\
    $\because$ \quad 边长是正值， \qquad   & $\therefore$ \quad $A'B' = c$。
\end{tblr}

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，

$\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $BC = a = B'C'$， \\
    $CA = b = C'A'$， \\
    $AB = c = A'B'$， \\
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$。

$\therefore$ \quad $\angle C = \angle C' = Rt \angle$。

例如， $3^2 + 4^2 = 5^2$， $5^2 + 12^2 = 13^2$，…，
所以，边长分别是 3、4、5； 5、12、13； … 的三角形都是直角三角形。

在我国古代，一部数学书《周髀算经》中有用边为 3、4、5 的直角三角形来进行测量的记载，
并把直角三角形的两直角边分别叫做\zhongdian{勾}和\zhongdian{股}，斜边叫做\zhongdian{弦}。
因此，我们把上面两个定理分别叫做\zhongdian{勾股定理}和它的逆定理。
勾股定理是数学中最常用的定理之一。
在外国是古希腊人毕达哥拉斯首先发现这个定理的，所以把它叫做\zhongdian{毕达哥拉斯定理}。


\begin{lianxi}

\xiaoti{在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle C = Rt \angle$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{已知 $a = 6$， $b = 8$， 求 $c$；}

    \xxt{已知 $a = 40$， $c = 41$， 求 $b$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{边长为
    （1） $a = 8$， $b = 15$， $c = 17$；
    （2） $a = 7$， $b = 24$， $c = 25$
    的三角形是不是直角三角形？是直角三角形的，哪个角是直角？
}

\xiaoti{正三角形的边长为 $10 \;\limi$， 求这个三角形的面积。}

\end{lianxi}

